İnce Plak Teorisi Kabülleri (Kirchhoff’s Theory)1.TarihçePlaklar genel olarak üç grupta sınıflandırılmaktadırlar.
1) Küçük deformasyon gösteren ince plaklar,
2) Büyük deformasyon gösteren ince plaklar,
3) Kalın plaklar.
İnce plak tanımı plağın t:kalınlığının b:en küçük engenişline oranının t/b=1/20 veya t/a=1/10 oranından küçük olması ile tanımlanmaktadır.
Plak teorileri ve plak yapıların analizleri üzerinde 1800 lü yıllardan beri çalışılmaktadır.
Ana teoriler (fundamental theories) :
a) Navier,
b) Kirchhoff,
c) Levy başlıkları altında incelenmektedir.
Sayısal çözümlemeler ise
a) Galarkin,
b) Wahl metodları ve diğerleridir.
Love (1944) Kirchhoff ince plak teorisini kalın plaklara uyarlamıştır. Prescott (1946) ise orta düzlemde oluşan gerinmeleri dikkate alarak teoriyi geliştirmiştir. Reissner (1954) ise yanal yüzeyler üzerinde kayma-kesme kuvvetinden dolayı oluşmakta olan deformasyonları teorisinde dikkate alarak plak teorisinde önemli bir gelişmeye önayak olmuştur.
Sayısal çalışmalarda ise 1956 yılında Turner, Clough, Martin ve Topp sonlu elemanlar metodunu geliştirerek mühendislik problemlerinin büyük ölçüde çözülebilmesini sağlamışlardır. Sonlu elemanlar sayısal çalışmalarına Argyis ve Zienkiewicz (1956) ‘in büyük katkıları olmuştur.
2. İnce Plakların Genel DavranışıPlakta x,y,z eksenlerine paralel oluşacak olan yerdeğiştirme bileşenleri u,v,w ile gösterilmektedir. Plağa uygulanan yanal yükleme (lateral loading) sonucunda, plak orta düzlemi veya kirişlerde doğal eksen olarak tanımladığımız yüzeyden ölçülen w(x,y) yerdeiştirmeleri dikkate alınarak aşağıdaki kabüller yapılmıştır.
Küçük Deformasyon Teorisi Kabülleri:1) Plak orta düzleminden ölçülen sehim (deflection) değerleri plağın kalınlığına göre küçük değerdedirler. Bu nedenle orta düzlemin eğimi küçük olacaktır. Karesi ise “1” in yanında çok küçük kalacaktır.
2) Eğilmeden dolayı orta düzlemde gerinme ve deformasyon görülmeyecektir.
3) Orta düzleme dik olan yüzey normalleri, dikliklerini eğilmeden sonrada korurlar. Bunun anlamı, yanal yüzeylerde &xz, &yz kayma gerinmeleri oluşamıyacaktır. Plağın eğilmesi, eğilme gerinmeleri dolayısıyla olacaktır. Yanal yüklemenin (tranverse loading) olmaması nedeniyle plağın kalınlığı boyunca oluşması beklenen komponentleri sıfır değerinde olacaktır. zε
4) Plağın orta düzlemine dik olarak oluşacak olan σz normal gerilme değerleri diğer gerilme komponentlere göre küçük değerlerde olacağından sıfır değerde alınmaktadır. Fakat bu kabül yüksek değerdeki konsantre yüklerin uygulandığı yüzeylerin etrafında geçerli olamıyacağı açıktır.
Kirchhoff Teorisinde Geçerli Sınır Şartı: Plağın kenarları boyunca oluşmakta olan dağılımı statik olarak plağın 1 birim kenarında oluşmakta olan net kesme kuvvet dağılımlarının toplamına eşittir (Eşitlik (1),(2)). Bu kenar üzerine uygulanmakta olan kesme kuvveti ve dağılımlarının toplamı aşağıdaki ifadelerde gösterildiği gibi Vx net kesme kuvvetine (effective transverse force) eşit olacaktır.
Yukarda verilen ve kenarlarda oluşan kesme kuvvetlerine ek olarak plağın köşelerinde kuvveti 2 adet Mxy değerinin birbirine komşu kenarlarda aynı yönde oluşmaları nedeniyle eklenmeleri sonucu aşağıdaki şekilde oluşmaktadır.
İnce plağın yönetici denklemi Lagrange (1811) tarafından aşağıdaki şekilde ifade edilmiştir.
4. Denklem
Yanal yükleme sıfır olduğu zaman bu ifade aşağıdaki şekliyle ifade olunur:
3. Plak Eğilme Probleminin Membran Elemanın Eğilme Problemi Haline dönüşümüPlağın kenarında etkiyen eğilme moment toplamları değişmezdir (invariant).
Bu kabülden yararlanarak moment toplam fonksiyonu M Marcus (1924) tarafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.
(7. Denklem)
Böylece Denklem (4), denklem (7) ile verilen iki ikinci mertebeden diferansiyel ifadeye dönüşmüştür.
4. Kabuklarda Membran Gerilmeleri ve Kabüllerİnce kabuklar t/r (kalınlık/eğrilik yarıçapı) oranının 1720 oranından küçük değerler içinde tanımlanmaktadırlar. Membran plak veya kabuk elemanlardan tanımlanmaktadır ancak yüzeyinde moment ve kesme kuvvetlerini taşımazlar. Membran eleman yalnızca çekmeye çalışan 2 boyutlu bi yay problemi ile tanımlanabilir. Plak eğilme ifadelerinde konsantre yüklerin oluşturduğu gerilme süreksizliklerini de kapsamakla beraber membran elemanların kalınlık, eğim, veya eğrilik yarı çapları açısında süreklilik gösterdiğini kabul etmekteyiz. İfadeleri denge denklemlerinde çıkarılmakta olup malzeme sabitlerinden de bağımsızdırlar.
Küçük deformasyon gösteren ince kabukların kinematik esas tanımlamaları aşağıda verilmiştir.
1) Kabuğun kalınlığının, orta düzlemine ait eğrilik yarıçapına oranı “1” e göre küçüktür.
2) Kabuğun eğilmeden dolayı oluşan sehim değerleri kabuk kalınlığına göre küçüktür.
3) Kabuk elemana uygulanan eğilme momentleri nedeniyle orta düzleme dik olan yüzey normalleri, dikliklerini eğilmeden sonra da korurlar. Bunun anlamı, yanal yüzeylerde &xz, &yz kayma gerinmeleri oluşamıyacaktır. Kabuğun eğilmesi, eğilme gerinmeleri dolayısıyla olacaktır. Yanal yüklemenin (tranverse loading) olmaması nedeniyle plağın kalınlığı boyunca oluşması beklenen εz komponentleri sıfır değerinde olacaktır.
4) Plağın orta düzlemine dik olarak oluşacak olan σz normal gerilme değerleri diğer gerilme komponentlere göre küçük değerlerde olacağından sıfır değerinde olacaktır.
Burada N membranın 1 birim çevre elemanına etkiyen düzlem içi net kuvvettir. Bu nedenle oluşacak olan net gerilme değeri ise aşağıda verilmektedir.
